Opciones, Simplificando a Black and Scholes

Algo de historia

Long Term Capital Management fue fundanda en 1993 por un ex director de operaciones de Salomon Brothers, junto con Robert Merton, Myron Scholes (quienes habían creado y recibido un premio nóble por crear el modelo de valuación del que hablaremos junto con Fisher Black, quien murió antes de poder recibir el premio nobel), junto con David Mullins (Antiguo regulador). Como dijo Warren Buffet, lo crearon los 16 hombres más inteligentes que hayan trabajado juntos en cualquier empresa del mundo, incluyendo Microsoft. Este fondo llego a controlar el 5% del mercado mundial de renta fija mediante posiciones apalancadas y terminó en un colapso catastrófico que obligo a la intervención de la Reserva Federal para que no haya un impacto sistémico. El fondo que basaba todas sus posiciones en el modelo de Black and Scholes, perdió 6500 millones de dólares y dejo al sistema financiero al borde del colapso.

Primera aproximación a la fórmula

La introducción es solo para recordarnos que la gran complejidad matemática no nos puede hacer olvidar que a veces el mercado es mas simple, y es la intención de este post, presentar el modelo de Black and Scholes y tratar de sacar conclusiones que nos permitan operar en la vida real y entender lo que estamos haciendo.

Las fórmulas serán una gran ayuda para entender que hay detrás, pero es la lógica de las mismas donde quiero poner el foco.
Para eso comenzamos con la más simple, la valuación de un call, en el momento del vencimiento es el maximo entre cero y el valor intrínseco (precio de la accion (s) y precio de ejercicio (k)).

c = max ( 0 ; s - k)

Lo que la formula se propuso fue tratar de darles valores probables a p y k en momentos del tiempo anteriores al vencimiento. Es decir, dado que el vencimiento no ha llegado, son valores ESPERADOS de p y k. Destaco la palabra, por que segun si en cada momento del tiempo el mercado "ESPERA", valores mayores de las opciones, entonces las opciones valdran más.

No nos queda otra que introducir conceptos estadísticos

Una distribución de probabilidad es una función que nos muestra cual es la probabilidad de que se den determinados valores dentro de un suceso aleatorio, en este caso, que la acción valga di. En el caso de una función normal, existe una simetría, es tan probable que se dé un valor muy malo, como un valor muy bueno exactamente mayor a la media, es decir...

Si el promedio de la volatilidad de la acción es 10%, entonces la probabilidad de que se dé un valor 9% es igual a la probabilidad de que se de un valor 11%.

Esto es distinto que la probabilidad de que se den valores entre 0 y 11%, que por definición, es mayor a la probabilidad de que se den valores entre 0 y 9% para cualquier distribución de probabilidad.

La complejizamos un poco

Sabiendo que en cualquier momento del tiempo anterior al vencimiento la opcion DEBE valer por la posibilidad de que al vencimiento sea ejercible, entonces la opcion antes del vencimiento NO puede valer cero, ergo vale s - k ¡Esperado!

c = s - k




Fíjense como simplemente agregamos un término al lado del precio del subyacente y del precio de ejercicio.

Estos valores son la probabilidad de que se dé la observación di o dz.

di = ln(s/k) + σ2/2 T
              σ√T


El primer término:

S N(di), es el valor esperado del precio del subyacente, medido hoy.

di, esta formado por el rendimiento esperado (ln s/k) y un segundo factor que depende de la volatilidad del activo y el tiempo restante hasta el vencimiento. Mostrandonos que cuanto mayor volatilidad, mayor será este término, mayor será la probabilidad de que se alcance di y por lo tanto más valdrá la opción.

El segundo término:

Es el valor presente del precio de ejercicio, multiplicado por un segundo término, por definición menor que di, y más chico cuanto más grande sea la volatilidad y el tiempo restante (σ√T), lo cual nos vuelve a mostrar, que cuanto mayor volatilidad y tiempo restante, mas grande deberá ser el valor de la opción.

Un pequeño chiste

Un grupo de gente se estaba vendiendo una caja cerrada, solo sabían que dentro de ella había un pescado, llego el momento en que uno de ellos abrió la caja y gritó "¡me estafaron, este pescado está podrido!", la respuesta fue "ese pescado no es para comer, es para venderlo!".

Conclusiones
La volatilidad histórica es lo que alimenta al modelo cada vez que vemos el término σ. Por lo que cada vez que se valúa la opción se supone que estamos en un punto donde el valor observado es la media de la distribución de volatilidades.



Mirando el reporte diario de IAMC, vemos que la volatilidad histórica de Grupo Financiero Galicia es al día de hoy de un 35,90%. Es decir, cualquier valuación de la columna prima teórica supone que estamos en el punto μ del gráfico. Cuando el día es fuertemente volátil, y Galicia salta un 3 – 4 %... las opciones suben fuerte, se valúan como si estuvieras en puntos como 2σ del gráfico cuando en realidad, es esperable que se vuelva al punto μ y las opciones vuelvan a caer de precio.

En ese momento, es cuando debemos vender el pescado. Recordemos que es muy bajo el porcentaje de opciones que al día del vencimiento es ejercido. Al operar opciones estamos vendiendo pescado, y la mayor parte de las veces ese pescado está podrido, debemos venderlo en los momentos de euforia.

* Entre los links útiles de este blog pueden obtener un programa que permitirá valuar las opciones rápidamente.